Estimados Forenses!

[pOint]

 
Que eu saiba ainda sei alguma coisa de matemática...
nomeadamente resolver problemas de equações simples.
Mas pode ser que afinal já nada saiba!
Não sei, vamos ver!

Estou completamente perplexo com o resultado que obtive!
Nem quis acreditar!
Talvez tenha feito mal algum cálculo ou até resolvido mal o problema!

Isto é um problema da área financeira,
portanto terá de ser alguém que domine e esteja à vontade com cálculo financeiro!
O rigor do cálculo é importante!
A veracidade do mesmo também!
A abordagem ao problema deve ser, óbviamente, correcta.
(talvez tenha abordado mal...)



O problema é o seguinte:

Um exemplo hipotético de uma instituição financeira ou uma entidade de crédito que cobra pelo(s) empréstimo(s) um juro "bastante elevado" e cuja referência temporal do juro, por motivos de marketing, é o mês e não o ano!
Logo interessa saber qual o juro anual, ou por outras palavras, anualizar o juro mensal.

Pensava eu que era a coisa mais simples deste mundo...
Bastava multiplicar a taxa de juro pelos 12 meses do ano, e "voilá" chegava ao resultado.
Engano meu!

A taxa de juro mensal é de 10%
Qual a taxa de juro anual?

Nota:
Pesquizei os seguintes termos no Google "calculo taxa juro anual"
e encontrei umas "fórmulas" que fazem a tarefa:

1 + ia = (1 + im)12

Onde:
ia = taxa de juro anual
im = taxa de juro mensal

Da Fórmula dizem:
"Esta fórmula permite calcular a taxa anual equivalente a uma determinada taxa mensal conhecida."

Encontrei e retirei esta fórmula do segundo da busca Googliana, um sítio brasileiro:
http://www.terra.com.br/matematica/arq9-20.htm
http://www.terra.com.br/matematica/arq9-13.htm

Como amanhã, domingo, não vou estar presente,
só na segunda-feira poderei ver se alguém ou alguns confirmam ou não,
o resultado que obtive, que foi:

1+ia = (1+0.1)12     (nota: potência 12)
1+ia = (1.1)12
1+ia = 3.1384

ia = 3.1384 - 1
ia = 2.1384

2.1384 * 100 = 213.84%

213.84% é a taxa anualizada de 10% ao mês!



PS: Será que cometi alguma calinada? Na abordagem, no cálculo...



Um Abraço
pOint

[Paciente]

Caro pOint,

Confirmo a exactidão dos seus cálculos. A taxa anual equivalente para uma taxa mensal de 10% é efectivamente 213,84%.

Já agora deixe-me clarificar que multiplicando a taxa mensal por 12 meses obtém a taxa anual nominal.


Abraço

[MigRod]

Bom dia

A taxa de 10% mensal que refere é uma taxa anual de cupões mensais ou uma taxa mensal efectiva?

Se for uma taxa mensal efectiva, em Portugal é taxa de agiotas.

Cumprimentos

MigRod

[pr0fit]

Olá

A diferença está na capitalização dos juros:

#1: Sem capitalização, capital inicial X, taxa de 10%.

mes 1: X*10%
mes 2: X*10%
mes 3: X*10%

.
.
.
mes 12: X*10%

Total de juro = 10% * 12 = 120 %

#2: Com capitalização, capital inicial X, taxa de 10%.

mes 1: X*10%
mes 2: (X*10%)*10%
mes 3: ((X*10%)*10%)*10%

.
.
.
mes 12: X*(10%^12)

Total de juro = 10% ^ 12 ~= 213.84 %

Ou seja, no segundo mês trabalha-se com o capital mais 10%, no terceiro acrescenta-se 10% ao anterior e assim sucessivamente, o que perfaz num ano a potência de 12 (meses) do juro.

Espero ter ajudado,
Abraço

[AGOIRENTO]

Em Portugal, por lei, os juros aplicados sobre um emprestimo, não podem ser superiores a 49% ano.

Portanto....

[pOint]

Obrigado pela atenção e pelas respostas!


São muito úteis algumas respostas aqui dadas!
Efectivamente trata-se de um caso delicado, que está em tribunal,
que também envolve alegadas práticas de agiotismo.
e eu estou a acompanhar de perto!


Na pesquisa que fiz, no primeiro resultado, aparece um sítio do IAPMEI,
http://www.iapmei.pt/iapmei-art-03.php?id=400,
onde é referido as diferentes taxas e algumas considerações sobre as mesmas,
que passo a citar:


IAPMEI:

Taxa nominal, efectiva e real

Não importando se a capitalização é simples ou composta, existem três tipos de taxas:
- Taxa Nominal;
- Taxa Efectiva;
- Taxa Real.

Taxa Nominal
A taxa de juro nominal é a taxa que obrigatoriamente deve ser indicada em todos os contratos de crédito ou nas aplicações, e corresponde ao período de um ano.

Taxa Efectiva
Quando existem capitalizações dentro do período da taxa nominal, esta não reflecte o valor efectivo da taxa. Assim, torna-se necessário converter a taxa nominal em taxa efectiva.

Taxa Real
Taxa real é a taxa efectiva corrigida pela taxa de inflação do período da operação.


Relação entre a Taxa Real, Efectiva e a Taxa da Inflação
A taxa real não é a diferença entre a taxa efectiva e a taxa da inflação.

Na realidade, existe uma ligação íntima entre as três taxas, dadas por:

                                         iEfectiva = [(1 + iReal) x (1 + iInflação)] -1


Qual a utilidade destes conceitos?
Nas situações em que o pagamento de juros se faz em períodos de tempo inferiores a um ano, é sempre possível identificar uma taxa de juro nominal e uma taxa de juro efectiva.

Nestes casos, para uma dada operação, a taxa efectiva é sempre superior à taxa nominal e, por isso, é importante distinguir de qual está a falar-se.

Dois exemplos:
1) Nas aplicações financeiras (depósitos a prazo, etc) em que os juros vão sendo incorporados (capitalizados) no capital inicial de forma trimestral ou semestral por exemplo, os clientes dos bancos recebem efectivamente mais do que indicam as taxas de juro nominais.
2) Nos contratos de crédito em que o pagamento de juros se faz em periodicidades inferiores a um ano, os clientes dos bancos pagam efectivamente mais do que indicam as taxas nominais.

Estas diferenças justificam a existência de normas obrigatórias na divulgação e no cálculo das taxas de juro praticadas:
A) Nas contas poupança-habitação existe a obrigação de indicar a taxa anual efectiva, tendo em consideração a periodicidade das entregas (DL nº 382/89).
B) Nos contratos de crédito à habitação é obrigatória a indicação da taxa de juro anual nominal e também da taxa de juro anual efectiva que resulta da aplicação do método das taxas equivalentes (DL nº 220/94 e DL nº 349/98).


Existem duas outras definições de taxas que são especialmente úteis para se ter uma percepção da globalidade dos encargos envolvidos num empréstimo bancário, para além do juro financeiro propriamente dito.

Taxa Anual Efectiva (TAE) e Taxa Anual Efectiva Global de Encargos (TAEG)
No cálculo da TAE, para além dos juros, são também incluídos todos os encargos a pagar pelo cliente relacionados com a operação de crédito e que constituem receitas para o banco (comissões, despesas de expediente, etc.) e, ainda, os seguros de vida.

As instituições de crédito são obrigadas a divulgar a TAE relativamente a todas as operações de crédito, excluindo as do crédito ao consumo, devendo o seu valor constar do texto dos contratos.

A TAEG difere da anterior pelo facto de incluir também os impostos associados ao contrato de crédito (selo, etc.) e de se circunscrever às operações de crédito ao consumo. 

18.06.2001

Paciente disse:

Confirmo a exactidão dos seus cálculos. A taxa anual equivalente para uma taxa mensal de 10% é efectivamente 213,84%.

Já agora deixe-me clarificar que multiplicando a taxa mensal por 12 meses obtém a taxa anual nominal.

R: Obrigado Paciente, confirma o que suspeitava mas com dificuldade em aceitar!
No ínicio nem sequer sabia dos conceitos das mesmas...

MigRod disse:

A taxa de 10% mensal que refere é uma taxa anual de cupões mensais ou uma taxa mensal efectiva?

Se for uma taxa mensal efectiva, em Portugal é taxa de agiotas.

R: A minha dúvida é essa.
Será que as entidades agiotas trabalham com a taxa efectiva (ou seja, acumulam juros - juros compostos ou com capitalização) ou trabalham "generosamente" somente com a taxa nominal (ou seja, não acumulam juros - juros não compostos ou sem capitalização)

AGOIRENTO disse:

Em Portugal, por lei, os juros aplicados sobre um emprestimo, não podem ser superiores a 49% ano.

Portanto....

R: Desconhecia que tal lei existia...
Significa que quem pratica taxas nominais ou mesmo taxas efectivas acima de 49% ao ano está a cometer um ilícito criminal. Certo?
Já agora, o AGOIRENTO sabe porque motivo (jurídico, ou económico/financeiro) são os 49% o limite máximo dos juros aplicados sobre um empréstimo?
E onde posso encontrar essa lei/artigo?
Desde já agradecido!

pr0fit disse:

A diferença está na capitalização dos juros:

#1: Sem capitalização, capital inicial X, taxa de 10%.

mes 1: X*10%
mes 2: X*10%
mes 3: X*10%

.
.
mes 12: X*10%

Total de juro = 10% * 12 = 120 %

#2: Com capitalização, capital inicial X, taxa de 10%.

mes 1: X*10%
mes 2: (X*10%)*10%
mes 3: ((X*10%)*10%)*10%

.
.
mes 12: X*(10%^12)

Total de juro = 10% ^ 12 ~= 213.84 %

R: Obrigado pr0fit. Ajuda ainda mais a esclarecer com o seu bom exemplo. No caso da capitalização dos juros, a confirmação de que é uma potência de 12 e não o produto de 12 tirou qualquer dúvida nas equações do problema, para quem ainda as tivesse.



Obrigado a todos.
Um "print" do essencial irá ajudar ao apuramento de factos.

Um abraço
pOint